Analyse des principes STARKs de Binius et réflexions sur leur optimisation

1 Introduction

Une des principales raisons de l'inefficacité des STARKs est que la plupart des valeurs numériques dans les programmes réels sont relativement petites, comme les index dans les boucles for, les valeurs booléennes, les compteurs, etc. Cependant, pour garantir la sécurité des preuves basées sur les arbres de Merkle, l'utilisation du codage Reed-Solomon pour étendre les données entraîne de nombreuses valeurs redondantes supplémentaires occupant tout le domaine, même si la valeur originale elle-même est très petite. Pour résoudre ce problème, réduire la taille du domaine est devenu une stratégie clé.

La largeur de codage des STARKs de première génération est de 252 bits, celle des STARKs de deuxième génération est de 64 bits, et celle des STARKs de troisième génération est de 32 bits, mais la largeur de codage de 32 bits présente encore beaucoup d'espace gaspillé. En comparaison, le domaine binaire permet d'opérer directement sur les bits, le codage est compact et efficace sans aucun espace gaspillé, c'est-à-dire les STARKs de quatrième génération.

Comparé aux récents travaux de recherche sur les corps finis, tels que Goldilocks, BabyBear et Mersenne31, la recherche sur les corps binaires remonte aux années 1980. Actuellement, les corps binaires sont largement utilisés en cryptographie, des exemples typiques incluent :

• Standard de chiffrement avancé (AES), basé sur le domaine F28;

• Galois Message Authentication Code ( GMAC ), basé sur le domaine F2128 ;

• QR code, utilisant un codage Reed-Solomon basé sur F28 ;

• Le protocole FRI original et le protocole zk-STARK, ainsi que la fonction de hachage Grøstl qui a atteint les finales de SHA-3, qui est basée sur le domaine F28, sont des algorithmes de hachage très adaptés à la récursivité.

Lorsque des domaines plus petits sont utilisés, l'opération d'extension de domaine devient de plus en plus importante pour garantir la sécurité. Le domaine binaire utilisé par Binius dépend entièrement de l'extension de domaine pour assurer sa sécurité et sa praticité. La plupart des polynômes impliqués dans les calculs de Prover n'ont pas besoin d'entrer dans l'extension de domaine, mais peuvent simplement fonctionner dans le domaine de base, réalisant ainsi une grande efficacité dans un petit domaine. Cependant, le contrôle des points aléatoires et le calcul FRI doivent encore plonger dans un domaine d'extension plus grand pour garantir la sécurité requise.

Lors de la construction d'un système de preuve basé sur un domaine binaire, il existe 2 problèmes pratiques : la taille du domaine utilisée pour représenter le trace dans les STARKs doit être supérieure au degré du polynôme ; lors de l'engagement de l'arbre de Merkle dans les STARKs, un codage de Reed-Solomon doit être effectué, et la taille du domaine doit être supérieure à la taille après l'extension du codage.

Binius a proposé une solution innovante qui traite ces deux problèmes séparément et représente les mêmes données de deux manières différentes : tout d'abord, en utilisant des polynômes multivariés (plus précisément des polynômes multilinéaires) à la place de polynômes à une seule variable, en représentant toute la trajectoire de calcul par ses valeurs sur les "hypercubes" ; ensuite, étant donné que la longueur de chaque dimension de l'hypercube est de 2, il n'est pas possible de procéder à une extension standard de Reed-Solomon comme avec les STARKs, mais l'hypercube peut être considéré comme un carré, permettant une extension de Reed-Solomon basée sur ce carré. Cette méthode améliore considérablement l'efficacité du codage et la performance calculatoire tout en garantissant la sécurité.

2 Analyse des principes

La construction de la plupart des systèmes SNARKs actuels comprend généralement les deux parties suivantes :

• Preuve d'Oracle Interactive Polynomiale d'Information Théorique (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP) : Le PIOP, en tant que noyau du système de preuve, transforme les relations de calcul d'entrée en égalités polynomiales vérifiables. Différents protocoles PIOP permettent au prouveur d'envoyer progressivement des polynômes grâce à une interaction avec le vérificateur, permettant à ce dernier de vérifier si le calcul est correct en interrogeant un nombre limité de résultats d'évaluation de polynômes. Les protocoles PIOP existants incluent : PIOP PLONK, PIOP Spartan et PIOP HyperPlonk, qui traitent chacun les expressions polynomiales de manière différente, influençant ainsi la performance et l'efficacité de l'ensemble du système SNARK.

• Schéma d'engagement polynomial (Polynomial Commitment Scheme, PCS) : Le schéma d'engagement polynomial est utilisé pour prouver si l'égalité polynomiale générée par PIOP est valable. Le PCS est un outil cryptographique grâce auquel le prouveur peut s'engager sur un certain polynôme et vérifier ultérieurement le résultat de l'évaluation de ce polynôme, tout en cachant d'autres informations sur le polynôme. Les schémas d'engagement polynomial courants incluent KZG, Bulletproofs, FRI (Fast Reed-Solomon IOPP) et Brakedown, entre autres. Différents PCS présentent des performances, une sécurité et des cas d'utilisation variés.

Selon les besoins spécifiques, choisissez différents PIOP et PCS, et combinez-les avec un domaine fini approprié ou une courbe elliptique, afin de construire des systèmes de preuve ayant différentes propriétés. Par exemple :

• Halo2 : combinant PLONK PIOP et Bulletproofs PCS, basé sur la courbe Pasta. Lors de la conception de Halo2, l'accent a été mis sur l'évolutivité et la suppression du trusted setup dans le protocole ZCash.

• Plonky2 : utilise une combinaison de PLONK PIOP et de FRI PCS, basé sur le domaine de Goldilocks. Plonky2 est conçu pour réaliser une récursivité efficace. Lors de la conception de ces systèmes, le PIOP et le PCS choisis doivent correspondre au champ fini ou à la courbe elliptique utilisée, afin d'assurer la validité, la performance et la sécurité du système. Le choix de ces combinaisons influence non seulement la taille de la preuve SNARK et l'efficacité de la vérification, mais détermine également si le système peut réaliser la transparence sans nécessiter de configuration fiable, et s'il peut prendre en charge des fonctionnalités d'extension telles que les preuves récursives ou les preuves agrégées.

Binius : HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + domaine binaire. Plus précisément, Binius comprend cinq technologies clés pour réaliser son efficacité et sa sécurité. Tout d'abord, l'arithmétique basée sur les tours de domaines binaires constitue la base de son calcul, permettant d'effectuer des opérations simplifiées dans le domaine binaire. Ensuite, Binius a adapté les vérifications de produit et de permutation de HyperPlonk dans son protocole de preuve Oracle interactif (PIOP), garantissant une vérification de cohérence sécurisée et efficace entre les variables et leurs permutations. Troisièmement, le protocole introduit une nouvelle preuve de décalage multilinéaire, optimisant l'efficacité de la vérification des relations multilinéaires sur de petits domaines. Quatrièmement, Binius utilise une version améliorée de la preuve de recherche Lasso, offrant flexibilité et sécurité robuste au mécanisme de recherche. Enfin, le protocole utilise un schéma d'engagement polynomial à petit domaine (Small-Field PCS), lui permettant de réaliser un système de preuve efficace dans le domaine binaire et réduisant les coûts généralement associés aux grands domaines.

2.1 Domain limité : arithmétisation basée sur les tours de corps binaires

Les corps binaires en tour sont la clé pour réaliser des calculs vérifiables rapides, principalement en raison de deux aspects : le calcul efficace et l'arithmétisation efficace. Les corps binaires soutiennent essentiellement des opérations arithmétiques très efficaces, ce qui en fait un choix idéal pour les applications cryptographiques sensibles aux exigences de performance. De plus, la structure des corps binaires soutient un processus d'arithmétisation simplifié, ce qui signifie que les opérations effectuées sur les corps binaires peuvent être représentées sous une forme algébrique compacte et facile à vérifier. Ces caractéristiques, combinées à la capacité de tirer pleinement parti de ses caractéristiques hiérarchiques grâce à la structure en tour, rendent les corps binaires particulièrement adaptés aux systèmes de preuve évolutifs tels que Binius.

Le terme "canonical" fait référence à la représentation unique et directe des éléments dans le domaine binaire. Par exemple, dans le domaine binaire le plus simple F2, toute chaîne de k bits peut être directement mappée à un élément de domaine binaire de k bits. Cela diffère des domaines premiers, qui ne peuvent pas fournir cette représentation canonique dans un nombre de bits donné. Bien qu'un domaine premier de 32 bits puisse être contenu dans 32 bits, ce n'est pas le cas pour chaque chaîne de 32 bits qui peut correspondre de manière unique à un élément de domaine, tandis que le domaine binaire offre cette commodité de mappage un à un. Dans le domaine premier Fp, les méthodes de réduction courantes incluent la réduction de Barrett, la réduction de Montgomery, ainsi que des méthodes de réduction spéciales pour des domaines finis spécifiques comme Mersenne-31 ou Goldilocks-64. Dans le domaine binaire F2k, les méthodes de réduction couramment utilisées incluent la réduction spéciale (comme utilisée dans AES), la réduction de Montgomery (comme utilisée dans POLYVAL) et la réduction récursive (comme Tower). Le document "Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" indique que le domaine binaire n'a pas besoin d'introduire des retenues dans les opérations d'addition et de multiplication, et que l'opération de carré dans le domaine binaire est très efficace, car elle suit la règle simplifiée (X + Y )2 = X2 + Y 2.

Comme illustré dans la figure 1, une chaîne de 128 bits : cette chaîne peut être interprétée de plusieurs manières dans le contexte des domaines binaires. Elle peut être considérée comme un élément unique dans un domaine binaire de 128 bits, ou être décomposée en deux éléments de domaine de tour de 64 bits, quatre éléments de domaine de tour de 32 bits, 16 éléments de domaine de tour de 8 bits, ou 128 éléments de domaine F2. Cette flexibilité de représentation ne nécessite aucun coût de calcul supplémentaire, juste un changement de type (typecast) de la chaîne de bits, ce qui est une propriété très intéressante et utile. De plus, les éléments de petit domaine peuvent être regroupés en éléments de domaine plus grands sans coût de calcul supplémentaire. Le protocole Binius tire parti de cette caractéristique pour améliorer l'efficacité des calculs. En outre, le document "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" explore la complexité de calcul des opérations de multiplication, de mise au carré et d'inversion dans un domaine binaire de tour de n bits (décomposable en m sous-domaines).

2.2 PIOP : version adaptée du produit HyperPlonk et vérification de permutation ------ applicable aux domaines binaires

La conception de PIOP dans le protocole Binius s'inspire de HyperPlonk et utilise une série de mécanismes de vérification essentiels pour valider la justesse des polynômes et des ensembles multivariés. Ces vérifications essentielles incluent :

1. GateCheck : Vérifiez si le témoin secret ω et l'entrée publique x satisfont la relation d'opération du circuit C(x,ω)=0, afin d'assurer le bon fonctionnement du circuit.

2. PermutationCheck : Vérifie si les résultats d'évaluation de deux polynômes multivariés f et g sur le cube hyperbolique booléen sont une relation de permutation f(x) = f(π(x)), afin de garantir la cohérence des permutations entre les variables polynomiales.

3. LookupCheck : vérifie si l'évaluation du polynôme est dans la table de recherche donnée, c'est-à-dire f(Bµ) ⊆ T(Bµ), s'assurant que certaines valeurs sont dans la plage spécifiée.

4. MultisetCheck : vérifie si deux ensembles multivariables sont égaux, c'est-à-dire {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, garantissant la cohérence entre plusieurs ensembles.

5. ProductCheck : vérifier si l'évaluation du polynôme rationnel sur le cube hyperbolique booléen est égale à une valeur déclarée ∏x∈Hµ f(x) = s, afin d'assurer la validité du produit polynomial.

6. ZeroCheck : Vérifier si un polynôme multivariable à plusieurs variables est nul à un point arbitraire sur l'hypercube booléen ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, afin d'assurer la distribution des zéros du polynôme.

7. SumCheck : vérifie si la somme d'un polynôme multivarié est égale à la valeur déclarée ∑x∈Hµ f(x) = s. En transformant le problème d'évaluation de polynômes multivariés en évaluation de polynômes univariés, cela réduit la complexité de calcul pour le vérificateur. De plus, SumCheck permet le traitement par lots en introduisant des nombres aléatoires, construisant des combinaisons linéaires pour réaliser le traitement par lots de plusieurs instances de vérification des sommes.

8. BatchCheck : basé sur SumCheck, vérifie l'exactitude de l'évaluation de plusieurs polynômes multivariés afin d'améliorer l'efficacité du protocole.

Bien que Binius et HyperPlonk présentent de nombreuses similitudes dans la conception des protocoles, Binius apporte des améliorations dans les trois domaines suivants :

• Optimisation de ProductCheck : dans HyperPlonk, ProductCheck exige que le dénominateur U soit non nul partout sur l'hypercube, et que le produit soit égal à une valeur spécifique ; Binius simplifie ce processus de vérification en spécialisant cette valeur à 1, réduisant ainsi la complexité de calcul.

• Gestion des problèmes de division par zéro : HyperPlonk n'a pas réussi à traiter adéquatement les cas de division par zéro, rendant impossible d'affirmer que U est non nul sur l'hypercube ; Binius a correctement géré ce problème, même lorsque le dénominateur est zéro, le ProductCheck de Binius peut continuer à fonctionner, permettant une généralisation à toute valeur de produit.

• Vérification de permutation inter-colonnes : HyperPlonk n'a pas cette fonctionnalité ; Binius prend en charge la vérification de permutation entre plusieurs colonnes, ce qui permet à Binius de gérer des cas de permutation polynomiale plus complexes.

Ainsi, Binius a amélioré la flexibilité et l'efficacité du protocole en modifiant le mécanisme PIOPSumCheck existant, offrant un soutien fonctionnel plus fort, en particulier lors du traitement de la validation de polynômes multivariables plus complexes. Ces améliorations ont non seulement résolu les limitations de HyperPlonk, mais ont également établi une base pour les futurs systèmes de preuve basés sur des domaines binaires.

2.3 PIOP : nouvel argument de décalage multilineaire ------ applicable à l'hypercube booléen

Dans le protocole Binius, la construction et le traitement des polynômes virtuels sont l'une des technologies clés, permettant de générer et d'opérer efficacement des polynômes dérivés de poignées d'entrée ou d'autres polynômes virtuels. Voici deux méthodes clés :

• Emballage : Cette méthode optimise l'opération en regroupant les éléments plus petits aux positions adjacentes dans l'ordre lexicographique en éléments plus grands. L'opérateur Pack cible des blocs de taille 2κ et les combine.